Persamaan Diferensial Bernoulli

Persamaan Diferensial merupakan persamaan diferensial biasa orde satu yang memiliki bentuk umum: yang dapat berbentuk persamaan diferensial linear atau tak linear. Jika atau maka persamaan tersebut merupakan persamaan bernoulli linear, dan jika atau maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial bernaouli tak liniear.

Persamaan diferensial Bernoulli sangat mirip dengan  bentuk persamaan diferensial linear orde-1 kecuali ruas kanan memuat faktor y pangkat n Jika n = 1, persamaan diferensial Bernoulli merupakan persamaan diferensial dengan variabel terpisah, bila n = 0 merupakan persamaan diferensial linear orde 1.Pada umumnya cara mencari solusi persamaan diferensial Bernoulli dengan cara mereduksi persamaan (1)  ke dalam persamaan diferensial linear orde-1.

Contoh Soal:

Persamaan Diferensial Faktor Integral (lanjutan)

Pada blog kali ini saya akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan tentang Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial Faktor Integral

Persamaan Diferensial Non Eksak adalah suatu Persamaan Dasar tingkat satu danberpangkat satu yang berbentuk:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0                                   (1)

dan memenuhi syarat:

Penyelesaian Persamaan Diferensial Non Eksak dapat diperoleh dengan mengalikan pers. 1 dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI) sehingga diperoleh PD Eksak yaitu: 

u M(x,y) dx + u N(x,y) dy = 0                           (2)

karena PD (pers. 2) sudah berbentuk eksak, maka memenuhi :

Rumus Umum FI :

secara umum FI u terdiri dari tiga kondisi yaitu:

1. FI u sebagai fungsi x saja

2. FI u sebagai fungsi y saja

3. FI u sebagai fungsi x dan y 

karena u sebagai fungsi x saja, maka:

sehingga pers. 3 dapat ditulis menjadi:

karena u sebagai fungsi y saja, maka:

sehingga pers. 3 dapat ditulis:

Jika disubtitusikan ke pers. 3, maka:

Persamaan Diferensial Homogen (lanjutan)

Saat ini kita akan mempelajari soal dan pembahasan:

Persamaan Diferensial Homogen

Assalamu Alaikum Wr.Wb
kali ini kita membahas mengenai Persamaan Diferensial Biasa

Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n∩R sehingga berlaku F(kx,ky) = k pangkat n F(x,y) dengan n disebut order dari fungsi homogen F(x,y). Ciri umum persamaan diferensial homogen adalah tiap suku derajatnya sama.

Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen

• Gunakan tranformasi:
  y = u x -> dy = x du + u dx, atau
  x = u y -> dy = y dy + u du
• Persamaan diferensial homogeny tereduksi ke Persamaan Diferensial terpisah
• Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial.
• Gantilah u = 𝑦/𝑥 jika menggunakan transformasi y = u x, dan u = 𝑥/𝑦 jika menggunakan transformasi x = u y untuk mendapatkan kembali variable semula.

Contoh

Wassalamu Alaikum Wr.Wb

Persamaan Diferensial Eksak (lanjutan)

1. tentukan solusi dari (3x2+4xy) dx+(2x2+2y) dy=0

Bentuk persamaan diferensial di atas merujuk pada persamaan diferensial eksak. Oleh karena itu, kita periksa terlebih dahulu apakah ini PD eksak atau bukan.
Dari bentuk (3x2+4xy) dx+(2x2+2y) dy=0   

kita misalkan bahwa

M=3x2+4xy dan N=2x2+2y

Berarti,

∂M/∂y = 4x 

dan  

∂N/∂y = 4x

Karena sama, maka PD ini EKSAK.
Selanjutnya, ambillah F(x,y)=C1, yang merupakan fungsi konstan. Berdasarkan bentuk (3x2+4xy)dx+(2x2+2y) dy, diketahui

∂F/∂x = 3x2+4xy ......(1)
dan
∂F/∂y = 2x2+2y..........(2)

Integrasikan (1) secara parsial terhadap x, diperoleh

F = x3+2x2y+ψ(x,y) 

Turunkan F ini secara parsial terhadap y, diperoleh

∂F/∂y = 2x2+ψ′(x,y)

Bandingkan dengan (2), dan kita dapatkan bahwa

ψ′(x,y) = 2y ⇔ ψ(x,y) = y2 + C2. Jadi,
F=x3+2x2y+y2+C2=C1                         

x3+2x2y+y2=C dengan C = C1 − C2    

Jadi, penyelesaiannya adalah x3+2x2y+y2=C 

2.   Tentukan penyelesaian dari (5xy+4y2+1) dx+(x2+2xy) dy = 0

Diberikan PD (5xy+4y2+1) dx+(x2+2xy) dy=0……(1)
Langkah pertama adalah memeriksa apakah persamaan diferensial di atas eksak atau tidak.
Misalkan:

M = 5xy+4y2              
N = x2+2xy

              
sehingga hasil turunan parsialnya adalah 

∂M/∂y = 5x+8y       

∂N/∂x = 2x+2y     

      
Karena  ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, maka persamaan diferensial  ini tak eksak.

Agar eksak, kita harus mencari faktor integrasi terlebih dahulu.
Faktor integrasinya berbentuk e∫P(x) dx         

P(x) dapat dicari dengan menggunakan cara berikut.

P(x)  =1/N ( ∂M/∂y − ∂N/∂x )            
P(x)  =1/x2+2xy (5x+8y − (2x+2y) )          

P(x)  =1/x2+2xy (3x + 6y))            
P(x)  = 3x(x+2y(x+2y)) =3/x

Karena P(x) hanya bergantung terhadap variabel x (sesuai persyaratan metode PD tak eksak), maka kita dapatkan faktor integrasi

e∫3x dx = e3ln⁡x = eln⁡x3 = x3

Kalikan faktor integrasi ini ke (1) untuk mendapatkan

x3(5xy + 4y2 + 1) dx + x3( x2 + 2xy) dy=x3⋅0

(5x4y + 4x3y2 + x3) dx+(x5+2x4y) dy = 0

Misalkan

M=5x4y+4x3y2+x3                       
N=x5+2x4y  

             
Jika kita menurunkan secara parsial M terhadap y dan N terhadap x, diperoleh

∂M/∂y = 5x4+8x3y        
∂N/∂x = 5x4+8x3y    

       
Karena sama, maka PD ini eksak.
Misalkan F= C0 (fungsi konstan). Telah diberikan

∂F/∂x = 5x4y+4x3y2+x3 ……(1)     
dan juga
∂F/∂y=x5+2x4y ……(2)

Integrasikan (1) secara parsial terhadap x, diperoleh

F = x5y+x4y2+14x4+ϕ(y)

Lanjutkan: turunkan parsial kembali F ini tapi terhadap y, diperoleh

∂F∂y=x5+2x4y+ϕ′(y)

Bandingkan dengan (2), sehingga didapat bahwa

ϕ′(y)=0⇒ϕ(y)=C1     

Berarti, solusinya adalah

F=x5y+x4y2+14x4+C1=C0     

            
atau disederhanakan menjadi

x5y+x4y2+14x4=C   

3. 

4. 

5.