Persamaan Diferensial Eksak (lanjutan)

1. tentukan solusi dari (3x2+4xy) dx+(2x2+2y) dy=0

Bentuk persamaan diferensial di atas merujuk pada persamaan diferensial eksak. Oleh karena itu, kita periksa terlebih dahulu apakah ini PD eksak atau bukan.
Dari bentuk (3x2+4xy) dx+(2x2+2y) dy=0   

kita misalkan bahwa

M=3x2+4xy dan N=2x2+2y

Berarti,

∂M/∂y = 4x 

dan  

∂N/∂y = 4x

Karena sama, maka PD ini EKSAK.
Selanjutnya, ambillah F(x,y)=C1, yang merupakan fungsi konstan. Berdasarkan bentuk (3x2+4xy)dx+(2x2+2y) dy, diketahui

∂F/∂x = 3x2+4xy ......(1)
dan
∂F/∂y = 2x2+2y..........(2)

Integrasikan (1) secara parsial terhadap x, diperoleh

F = x3+2x2y+ψ(x,y) 

Turunkan F ini secara parsial terhadap y, diperoleh

∂F/∂y = 2x2+ψ′(x,y)

Bandingkan dengan (2), dan kita dapatkan bahwa

ψ′(x,y) = 2y ⇔ ψ(x,y) = y2 + C2. Jadi,
F=x3+2x2y+y2+C2=C1                         

x3+2x2y+y2=C dengan C = C1 − C2    

Jadi, penyelesaiannya adalah x3+2x2y+y2=C 

2.   Tentukan penyelesaian dari (5xy+4y2+1) dx+(x2+2xy) dy = 0

Diberikan PD (5xy+4y2+1) dx+(x2+2xy) dy=0……(1)
Langkah pertama adalah memeriksa apakah persamaan diferensial di atas eksak atau tidak.
Misalkan:

M = 5xy+4y2              
N = x2+2xy

              
sehingga hasil turunan parsialnya adalah 

∂M/∂y = 5x+8y       

∂N/∂x = 2x+2y     

      
Karena  ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, maka persamaan diferensial  ini tak eksak.

Agar eksak, kita harus mencari faktor integrasi terlebih dahulu.
Faktor integrasinya berbentuk e∫P(x) dx         

P(x) dapat dicari dengan menggunakan cara berikut.

P(x)  =1/N ( ∂M/∂y − ∂N/∂x )            
P(x)  =1/x2+2xy (5x+8y − (2x+2y) )          

P(x)  =1/x2+2xy (3x + 6y))            
P(x)  = 3x(x+2y(x+2y)) =3/x

Karena P(x) hanya bergantung terhadap variabel x (sesuai persyaratan metode PD tak eksak), maka kita dapatkan faktor integrasi

e∫3x dx = e3ln⁡x = eln⁡x3 = x3

Kalikan faktor integrasi ini ke (1) untuk mendapatkan

x3(5xy + 4y2 + 1) dx + x3( x2 + 2xy) dy=x3⋅0

(5x4y + 4x3y2 + x3) dx+(x5+2x4y) dy = 0

Misalkan

M=5x4y+4x3y2+x3                       
N=x5+2x4y  

             
Jika kita menurunkan secara parsial M terhadap y dan N terhadap x, diperoleh

∂M/∂y = 5x4+8x3y        
∂N/∂x = 5x4+8x3y    

       
Karena sama, maka PD ini eksak.
Misalkan F= C0 (fungsi konstan). Telah diberikan

∂F/∂x = 5x4y+4x3y2+x3 ……(1)     
dan juga
∂F/∂y=x5+2x4y ……(2)

Integrasikan (1) secara parsial terhadap x, diperoleh

F = x5y+x4y2+14x4+ϕ(y)

Lanjutkan: turunkan parsial kembali F ini tapi terhadap y, diperoleh

∂F∂y=x5+2x4y+ϕ′(y)

Bandingkan dengan (2), sehingga didapat bahwa

ϕ′(y)=0⇒ϕ(y)=C1     

Berarti, solusinya adalah

F=x5y+x4y2+14x4+C1=C0     

            
atau disederhanakan menjadi

x5y+x4y2+14x4=C   

3. 

4. 

5.