PERSAMAAN DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER (lanjutan)

Soal dan Pembahasan Persamaan Diferensial Koefisien Linier

1.

2.

3.

4.

5.

6.

PERSAMAAN DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER

Tingkat Persamaan Diferensial dapat dilihat dari turunan tertinggi yang termuat dalam Persamaan Diferensial itu.

Bentuk umum PD Linier orde-n adalah

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y = F(x)

PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.

Contoh:

 

Jika F(x) pada persamaan PD Linier orde-n sama dengan nol maka PD disebut PD homogen atau tereduksi atau komplementer. Jika F(x)≠0 maka PD disebut PD lengkap atau PD tak homogen.

Jika a0(x), a1(x), ...., an(x) adalah konstanta maka PD disebut PD Linier dengan

koefisien konstanta, jika tidak disebut PD Linier koefisien variabel.

Bentuk , ,…, , dapat dituliskan dengan lambang dy/dx, d²y/dx2, …, Dⁿy/dxn, dengan D,D²… disebut operator diferensial. Sehingga persamaan PD Linier orde-n dapat dinyatakan sebagai:

 

1. Teorema dasar persamaan diferensial linier

Untuk menyelesaikan PD Linier berbentuk

(D)y = F(x) dengan F(x) ≠0,

kita misalkan Yc(x) adalah solusi umum PD homogen dari (D)y=0, maka penyelesaian umum PD Linier adalah dengan menjumlahkan penyelesaian umum PD homogen dan penyelesaian khusus, yaitu:

y = Yc(x) + Yp(x)

contoh:

Solusi umum PD homogen: (D2-3D+2)y=0 adalah y=c1ex+c2e2x dan

solusi khusus PD : (D2-3D+2)y=4x2 adalah 2x2+6x+7,

maka solusi umum PD lengkap/tak homogen dari

(D²-3D+2)y=4x² adalah y= c1e^x+c2e^2x+2x²+6x+7

2. Ketakbebasan linier

Himpunan n fungsi y1(x), y2(x), …, yn(x) dikatakan takbebas linier pada suatu selang jika ada n konstanta c1, c2, …, cn yang tidak semua nol, sehingga berlaku:

c1 y1(x)+ c2 y2(x)+ …+ cn yn(x) = 0

jika tidak maka himpunan fungsi tersebut dikatakan bebas linier.

Contoh:

2e^3x, 5e^3x,e^-4x

Tak bebas linier pada suatu selang karena dapat ditentukan konstanta c1, c2, c3 yang tidak semua nol sehingga:

c1(2e^3x)+ c2 (5e^3x)+c3 (e^-4x) = 0 dengan c1 =-5, c2 =2, c3 =0

Contoh:

e^x dan xe^x adalah bebas linier karena c1(e^x)+ c2 (xe^x)=0 hanya jika c1 =0,

c2 =0