SOAL PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (lanjutan)

 

 

SOAL DAN PEMBAHASAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

1.

 2.

 3.

4.

5.

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Assalamu Alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Kali ini sahabat MAFIA (MAfia Fun Is Asyik) akan membahas mengenai Persamaan Diferensial Biasa. Oke langsung saja ke pembahasan

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, tetapi secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Orde Persamaan Diferensial Biasa

Suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke n

contoh:

Derajat Persamaan Diferensial Biasa

Derajat Persamaan Diferensial Biasa yaitu suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree(derajat) k jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajat k

contoh:

Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu

Suatu persamaan diferensial biasa orde satu adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel bebas, biasanya dinamakan x, satu variabel tak bebas, biasanya dinamakan y, dan derivatif dx/dy. Suatu persamaan diferensial biasa orde satu tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk berikut

dy/dx = f(x,y)

Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua

Persamaan diferensial biasa orde dua, yaitu Persamaan Diferensial Biasa yang turunan tertingginya adalah turunan kedua. Persamaan Diferensial Biasa orde 2 keatas dinamakan juga PDB orde lanjut

contoh soal:
1. tentukan tingkat dan derajat dari 2 dy/dx + y = x³

jawab: persamaan diferensial tingkat 1 derajat 1
2. tentukan tingkat dan derajat dari d²y / dx² + 3 (dy/dx) + 2y = 0
jawab: persamaan diferensial tingkat 2 derajat 1
3. tentukan tingkat dan derajat dari y''' + 2(y'')² + y' = sin x
jawab: persamaan diferensial tingkat 3 derajat 1
4. Carilah penyelesaian persamaan diferensial dy/dx = x³+cos 2x
jawab: dy = (x³+cos 2x)dx

5. Carilah penyelesaian persamaan diferensial dy/dx = x² - x + 3/x +5
jawab: 

TURUNAN dan INTEGRAL

TURUNAN dan INTEGRAL

Assalamu Alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Kali ini sahabat MAFIA (MAfia Fun Is Asyik) akan membahas mengenai Turunan dan Integral
Oke langsung saja ke pembahasan

TURUNAN

PENGERTIAN TURUNAN
Turunan atau disebut juga seabagai Deriviatif merupakan suatu pengukuran kepada bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.Secara umum, turunan akan menyatakan bagaimanakah sebuah besaran berubah akibat adanya perubahan besaran yang lainnya.
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. bentuk umum dari rumus turunan

RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. Turunan f(x) = axⁿ adalah f’(x) = anx^n-1

2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku

y = ± v → y’ = v’ ± u’

y = c.u → y’ = c.u’

y = u.v → y’ = u’ v + u.v’

y  = uⁿ → y’ = n. u^n-1.u’

3.    Rumus- Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Turunan Fungsi Konstan

Jika f(x) = k( k = konstanta real), maka turunan f(x) adalah f ‘(x) = 0

Turunan Fungsi Identitas

Jika f(x) sebuah fungsi identitas atau f(x) = x maka f’(x) = 1

 

Turunan Fungsi Pangkat

Jika f(x) = a xⁿ (dengan akonstanta real tidak nol dan n bilangan bulat positif), maka  f’(x) = a n x^n-1

Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi

Jika f(x) = ku(x) dengan k  konstanta real dan u(x) fungsi dari x yang mempunyai turunan u’(x) maka  f ‘(x) = ku’(x)

Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi – Fungsi

Jika f(x) = u(x) ± v(x) dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x), makaf ‘(x) = u’(x) ± v’(x)

Turunan Hasil Kali Fungsi – Fungsi

Jika f(x) = u(x) × v(x) dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x), maka :

f ‘(x) = u’(x) × v(x) + u(x) ×  v’(x)

Turunan Hasil Bagi Fungsi – Fungsi

Turunan Fungsi f(x) = { u(x)}ⁿ

Jika   f(x) = { u(x)}ⁿ  dengan u(x) adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan    

u’(x) dan n bilangan real maka  f’(x) =  n{ u(x)}^{n – 1} · u’(x)

4.Rumus – Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Sinus

Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x

 

Turunan Fungsi Cosinus

Jika f(x) = cos x maka f’(x) = - sin x

 Turunan fungsi Tangen

Jika f(x) = tan x maka f’(x) = sec²x

Turunan Fungsi Kotangen, Sekan, dan Kosekan

Jika f(x) = cot x                 maka f’(x) = - cosec²x

Jika f(x) = sec²x                 maka f’(x) = sec x • tan x

Jika f(x) = cosec x             maka f’(x) = - cosec x • cot x

 

INTEGRAL

Di materi sebelumnya kita telah konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 𝑓(𝑥)=2x³. Setiap fungsi ini memiliki turunan 𝑓′(𝑥)=6x².Jadi, turunan fungsi 𝑓(𝑥)=2x³ adalah 𝑓′(𝑥)=6x²

Integral Tak Tentu

Pengintegralan fungsi 𝑓(𝑥)yang ditulis sebagai ∫𝑓𝑥𝑑𝑥 disebut integral tak tentu dari 𝑓(𝑥).

Integral tak tentu adalah integral yang tidak ada batasnya. Jika 𝐹(𝑥) anti turunan dari 𝑓(𝑥), maka

∫f(x) dx = f(x)+C

Keterangan:

∫ = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)

𝑓(𝑥) = fungsi integral

𝑓(𝑥) = fungsi integral umum yang bersifat 𝑓′𝑥= 𝐹(𝑥)

C = konstanta pengintegralan

Contoh integral tak tentu

∫9x²dx

 Rumus – rumus integral tak tentu dari fungsi aljabar

Rumus – rumus integral tak tentu fungsi trigonometri

Integral tentu

Integral tentu adalah integral yang ada batasnya

Contoh integral tentu

Rumus integral tentu

contoh soal

3. 

4. 

5.